Question

如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線PC⊥平面ABC，E，F分別是PA，PC的中點．
（Ⅰ）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明．
（Ⅱ）設（Ⅰ）中的直線l與圓O的另一個交點為D，記直線DF與平面ABC所成的角為θ，直線DF與直線BD所成的角為α，二面角E-BD-C的大小為β，求證：sinθ=sinαsinβ．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,空間中直線與平面之間的位置關系

專題：空間角

分析：（I）由已知條件推導出EF∥AC，從而得到EF∥平面ABC，由此能證明l∥平面PAC．
（II）過B作AC的平行線BD，交線l即為直線BD，且l∥AC，由已知條件推導出∠CBF=β，∠CDF=θ，∠BDF=α，由此能證明sinθ=sinαsinβ．

解答： （I）解：∵E，F分別是PA，PC的中點，
∴EF∥AC，∵AC?平面ABC，EF不包含于平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
又∵EF?平面BEF，平面BEF∩平面ABC=l
∴EF∥l，∴l(xiāng)∥平面PAC．…（4分）
（II）證明：如圖，過B作AC的平行線BD，
由（I）知，交線l即為直線BD，且l∥AC．
∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC，于是BD⊥BC．
∵PC⊥平面ABC，∴PC⊥BD，
∴BD⊥平面PBC．連接BE，BF，則BD⊥BF．
∴∠CBF就是二面角E-BD-C的平面角，即∠CBF=β．…（7分）
連結CD，∵PC⊥平面ABC，∴CD就是FD在平面ABC內的射影，
∴∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．
又∵BD⊥平面PBC，∴BD⊥BF，則∠BDF為銳角，∠BDF=α．…（9分）
∴在Rt△CDF，Rt△BDF，Rt△BCF中，分別得
sinθ=

CF

DF

，sinα=

BF

DF

，sinβ=

CF

BF

，
∴sinαsinβ=

BF

DF

•

CF

BF

=

CF

DF

=sinθ，
∴sinθ=sinαsinβ．…（12分）

點評：本題考查直線與平面的位置關系的判斷與證明，考查三角函數正弦值相等的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．