Question

（本小題滿分14分）
已知函數為常數，數列滿足：，，．
（1）當時，求數列的通項公式；
（2）在（1）的條件下，證明對有：；
（3）若，且對，有，證明：．

Answer 1

（1），
（2）可以用裂項法求和進而證明也可以用數學歸納法證明
（3）可以用基本不等式證明也可以用導數證明，還可以利用數列的單調性證明

試題分析：（1）當時，，
兩邊取倒數，得，                                           ……2分
故數列是以為首項，為公差的等差數列，
，，．                                      ……4分
（2）證法1：由（1）知，故對
         ……6分
所以 
．                            ……9分
[證法2：①當n=1時，等式左邊，等式右邊，左邊=右邊，等式成立；                                                  ……5分
②假設當時等式成立，
即，
則當時

這就是說當時，等式成立，                                       ……8分
綜①②知對于有：
．                      ……9分】
（3）當時，
則，                              ……10分
∵，
∴                      ……11分

．                          ……13分
∵與不能同時成立，∴上式“=”不成立，
即對，．                                    ……14分
【證法二：當時，，
則                                       ……10分
又
                                         ……11分
令則                      ……12分
當所以函數在單調遞減，故當所以命題得證                   ……14分】
【證法三：當時，，            ……11分
 
數列單調遞減，
，
所以命題得證                                                        ……14分】
點評：本小題比較綜合，既考查了數列的通項公式的求解，也考查了數列的前n項的求解，還考查了數列的性質的應用以及基本不等式、導數等的綜合應用，難度較大，要求學生具有較高的分析問題、轉化問題、解決問題的能力和運算求解能力.