Question

直線l與圓x²+y²=1相切，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和等于

3

，則直線l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積等于（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  1

  2

• C、1或3
• D、

  1

  2

  或

  3

  2

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：設(shè)出直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，表示出三邊關(guān)系（勾股定理，面積相等，截距之和為

3

），化簡為三角形面積，即可．

解答： 解：設(shè)直線分交x軸于A（a，0），y軸B（0，b），
則|a|＞1，|b|＞1．
∵截距之和等于

3

，
∴直線l的斜率大于0．
∴ab＜0．
令|AB|=c
則c²=a²+b²…①
∵直線l與圓x²+y²=1相切，
∴圓心（0，0）到直線AB的距離d=r=1．
由面積可知c•1=|a•b|…②
∵a+b=

3

，
∴（a+b）²=3…③
由①②③可得（ab）²+2ab-3=0．
ab=-3或ab=1．
又∵ab＜0，
∴ab=-3
于是直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積
S=

1

2

•|ab|=

3

2

．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線的截距式方程，二次計(jì)算三角形面積方法，是中檔題