Question

7．已知函數f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1，n∈N^*），其中[x]表示不超過x的最大整數，如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．定義a_n是函數f（x）的值域中的無素個數，數列{a_n}的前n項和為S_n，若$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{1}}$＜$\frac{m}{10}$對n∈N^*均成立，則最小正整數m的值為20．

Answer 1

分析 先由題意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，S_n，運用裂項相消求和和不等式恒成立思想，即可得到m的范圍，進而得到最小值．

解答 解：∵函數f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1），
∴[x]=n，則x[x]=nx，
∴函數f（x）的值域中的元素個數是n，
∴a_n=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
則$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{1}}$=2（1-$\frac{1}{2}$）+2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
由于$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{1}}$＜$\frac{m}{10}$對n∈N^*均成立，
即有2≤$\frac{m}{10}$，即為m≥20．
則最小正整數m的值為20．
故答案為：20．

點評 本題主要考查通過取整函數來建立新函數，進而研究其定義域和值域，以及考查了數列與不等式的綜合，屬于中檔題．