Question

【題目】如圖所示，正四棱椎P-ABCD中，底面ABCD的邊長為2，側(cè)棱長為.

（I）若點(diǎn)E為PD上的點(diǎn)，且PB∥平面EAC.試確定E點(diǎn)的位置；

（Ⅱ）在（I）的條件下，點(diǎn)F為線段PA上的一點(diǎn)且，若平面AEC和平面BDF所成的銳二面角的余弦值為，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（I）E為PD中點(diǎn)，（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)OE推導(dǎo)出PB∥OE，由O為BD的中點(diǎn)，推導(dǎo)出在△BDP中，E為PD中點(diǎn)．

（Ⅱ）連結(jié)OP，以O為原點(diǎn)，OC、OD、OP所成直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出λ．

（Ⅰ）設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)OE，

∵PB∥平面AEC，平面AEC∩平面BDP＝OE，

∴PB∥OE，

又O為BD的中點(diǎn)，

∴在△BDP中，E為PD中點(diǎn)．

（Ⅱ）連結(jié)OP，由題意得PO⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

∴以O為原點(diǎn)，OC、OD、OP所成直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

OP，

∴A（，0，0），B（0，，0），C（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），

則E（0，，），（，0，0），（，，），（0，，0），

設(shè)平面AEC的法向量（x，y，z），

則，令z＝1，得平面AEC的一個法向量（0，，1），

設(shè)平面BDF的法向量（x，y，z），

由，得F（，0，），（，，），

∴，令z＝1，得（，0，1），

∵平面AEC和平面BDF所成的銳二面角的余弦值為，

∴cos，

解得λ．