Question

（本題滿(mǎn)分15分）如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，2AE＝BD＝2．

（Ⅰ）若F是線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，證明：EF⊥面DBC；

（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值．

Answer 1

（1）利用線(xiàn)面垂直判定定理證明，（2）

【解析】

試題分析：取BC的中點(diǎn)G，連接AG、FG，利用為三角形的中位線(xiàn)，，，說(shuō)明四邊形是平行四邊形，因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面，證明線(xiàn)面垂直，只需尋求線(xiàn)線(xiàn)垂直，因三角形ABC為等邊三角形，則，又DB⊥平面ABC，則，問(wèn)題得以解決，第二步首先找出二面角，連接，過(guò)在面內(nèi)作的垂線(xiàn)，垂足為連接．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071206035778517187/SYS201507120604037696974861_DA/SYS201507120604037696974861_DA.018.png">，，在三角形DBC中，，， 所以易證得為二面角D－EC－B的平面角，在直角三角形中，求出的余弦；

試題解析：（ⅰ）證明：取的中點(diǎn),連接 又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071206035778517187/SYS201507120604037696974861_DA/SYS201507120604037696974861_DA.032.png">為平行四邊形，

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（ⅱ）連接，過(guò)在面內(nèi)作的垂線(xiàn)，垂足為，連接．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071206035778517187/SYS201507120604037696974861_DA/SYS201507120604037696974861_DA.018.png">，

又 ， 所以易證得為二面角D－EC－B的平面角；

在中， 所以易求得 ，在直角中，,,，，

所以二面角的平面角的余弦值為

考點(diǎn)：1.線(xiàn)面垂直的判定；2.求二面角；