Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中點(diǎn)，且PA=AB=AC=2，．

（1）求證：CD⊥平面PAC；

（2）求二面角M-AB-C的大��；

（3）如果N是棱AB上一點(diǎn)，且直線CN與平面MAB所成角的正弦值為，求的值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）1．

【解析】

試題分析：（1）利用勾股定理與線面垂直的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角；（3）設(shè),利用空間向量求線面角，得到關(guān)于的方程，解方程即可求解.

試題解析：（1）連結(jié)AC．

因?yàn)樵凇鰽BC中，

AB= AC=2，，

所以 ，

所以 ．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071306022730867063/SYS201507130602309025169465_DA/SYS201507130602309025169465_DA.008.png">∥，

所以．

又因?yàn)?底面，

所以 ．

因?yàn)?，

所以 CD⊥平面PAC． 4分

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，．

因?yàn)?M是棱PD的中點(diǎn)，

所以 ．

所以 ，．

設(shè)為平面MAB的法向量，

所以，

即 ，

令 ，則 ，

所以平面MAB的法向量．

因?yàn)?PA⊥平面ABCD，

所以 是平面ABC的一個(gè)法向量．

所以 ．

因?yàn)槎�面角M-AB-C 為銳二面角，

所以二面角M-AB-C的大小為． 10分

（3）因?yàn)镹是在棱AB上一點(diǎn)，所以設(shè)，．

設(shè)直線CN與平面MAB所成角為，

因?yàn)槠矫鍹AB的法向量，

所以

．

解得，即，，所以 .

考點(diǎn)：1.線面垂直的判定定理；2.利用空間向量求線面角與二面角.