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已知函數
(1)求證:函數f(x)在點(e,f(e))處的切線橫過定點,并求出定點的坐標;
(2)若f(x)<f2(x)在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;
(3)當時,求證:在區(qū)間(1,+∞)上,滿足f1(x)<g(x)<f2(x)恒成立的函數g(x)有無窮多個.
【答案】分析:(1)先求出導數,根據導數的幾何意義得出f(x)在點(e,f(e))處的切線的斜率為,從而寫出切線方程得出切線恒過定點;
(2)先令<0,對x∈(1,+∞)恒成立,
利用導數求出p(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數,從而得出:要使p(x)<0在此區(qū)間上恒成立,只須滿足,由此解得a的范圍即可.
(3)當時,
.利用導數研究它的單調性,得出y=f2(x)-f1(x)在(1,+∞)上為增函數,最后得到滿足f1(x)<g(x)<f2(x)恒成立的函數g(x)有無窮多個.
解答:解:(1)因為,所以f(x)在點(e,f(e))處的切線的斜率為,
所以f(x)在點(e,f(e))處的切線方程為,
整理得,所以切線恒過定點
(2)令<0,對x∈(1,+∞)恒成立,
因為(*)
令p'(x)=0,得極值點x1=1,,
①當時,有x2>x1=1,即時,在(x2,+∞)上有p'(x)>0,
此時p(x)在區(qū)間(x2,+∞)上是增函數,并且在該區(qū)間上有p(x)∈(p(x2),+∞),不合題意;
②當a≥1時,有x2<x1=1,同理可知,p(x)在區(qū)間(1,+∞)上,有p(x)∈(p(1),+∞),也不合題意;
③當時,有2a-1≤0,此時在區(qū)間(1,+∞)上恒有p'(x)<0,
從而p(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數;
要使p(x)<0在此區(qū)間上恒成立,只須滿足,
所以
綜上可知a的范圍是
(3)當時,

因為,所以y=f2(x)-f1(x)在(1,+∞)上為增函數,
所以,設,則f1(x)<R(x)<f2(x),
所以在區(qū)間(1,+∞)上,滿足f1(x)<g(x)<f2(x)恒成立的函數g(x)有無窮多個.
點評:本題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、導函數的正負與原函數的單調性之間的關系等,注意應用導數的性質:當導函數大于0時原函數單調遞增,當導函數小于0時原函數單調遞減.
練習冊系列答案
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(1)求證:函數在點處的切線恒過定點,并求出定點坐標;

(2)若在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍;

(3)當時,求證:在區(qū)間上,滿足恒成立的函數

 

有無窮多個.

 

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已知函數.

(1)求證:不論為何實數總是為增函數;

(2)確定的值, 使為奇函數;

(3)當為奇函數時, 求的值域.

 

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