Question

定義在R上的奇函數f（x），當x∈（-∞，0）時，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=（log_π3）•f（log_π3），c=-2f（-2），則a，b，c的大小關系為

 

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Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數的運算

專題：導數的綜合應用

分析：構造函數g（x）=xf（x），利用導數研究函數的單調性，即可得到結論．

解答： 解：設g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵當x∈（-∞，0）時，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，
∴此時g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，即此時函數g（x）單調遞減，
∵f（x）是奇函數，∴g（x）=xf（x）是偶函數，
即當x＞0時，函數g（x）單調遞增，
則a=3f（3）=g（3），b=（log_π3）•f（log_π3）=g（log_π3），c=-2f（-2）=g（-2）=g（2），
∵0＜log_π3＜1＜2＜3，
∴g（log_π3）＜g（2）＜g（3），
即b＜c＜a，
故答案為：b＜c＜a．

點評：本題主要考查函數值的大小比較，構造函數，利用函數的奇偶性和單調性之間的關系，是解決本題的關鍵．