Question

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性．

（）設(shè)，求證：當(dāng)時，．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（）求得，分兩種討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)性；

（）當(dāng)，由（）可知，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，是低調(diào)遞減，得在取得最大值，得到，代入得，得到，即可作出證明.

試題解析：

（）∵，且定義域為，

當(dāng)時，，

∴在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，有，

當(dāng)，，當(dāng)，，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

（）∵，由（）可知， 在上單調(diào)遞增，

∵，

，

∴存在唯一，使得，且，

∵，

∴有或，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，是低調(diào)遞減，

∴在取得最大值，即為在區(qū)間的最大值，

∴，

∵，

∴，

代入，

∵在在單調(diào)遞增，，

∴，

∴當(dāng)時，有．