Question

15．在△ABC中，AC=BC=$\sqrt{5}$，AB=2，點O為AB的中點，點E，F分別在BC、CA上，且EF=1，點M是線段EF的中點，若$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$≤$\frac{25}{16}$，則|$\overrightarrow{OM}$|的最大值為$\frac{\sqrt{65}}{4}$．

Answer 1

分析 以O為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，直線AC：y=2x+2，BC：y=-2x+2，設E（m，2m+2），F（n，2-2n），中點M（$\frac{1}{2}$（m+n），2+m-n），由EF=1，可得（m-n）²+（2m+2n）²=1，若$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$≤$\frac{25}{16}$，則mn+（2m+2）（2-2n）≤$\frac{25}{16}$，而|$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{\frac{1}{4}（m+n）^{2}+（2+m-n）^{2}}$=$\sqrt{\frac{15}{16}（m-n）^{2}+4（m-n）+\frac{65}{16}}$，由-1≤m-n≤0，由對稱軸-$\frac{32}{15}$＜-1，利用二次函數的單調性即可得出．

解答 解：以O為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，
A（-1，0），B（1，0），C（0，2），
直線AC：y=2x+2，BC：y=-2x+2，
設E（m，2m+2），F（n，2-2n），
中點M（$\frac{1}{2}$（m+n），2+m-n），
由EF=1，可得（m-n）²+（2m+2n）²=1，
若$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$≤$\frac{25}{16}$，則mn+（2m+2）（2-2n）≤$\frac{25}{16}$，
而|$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{\frac{1}{4}（m+n）^{2}+（2+m-n）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{16}（1-（m-n）^{2}）+（2+m-n）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{15}{16}（m-n）^{2}+4（m-n）+\frac{65}{16}}$，
由-1≤m-n≤0，
由對稱軸-$\frac{32}{15}$＜-1，即有m-n=0時，
取得最大值，且為$\frac{\sqrt{65}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{65}}{4}$．

點評 本題考查了向量的坐標運算、中點坐標公式、數量積運算性質、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．