Question

設(shè)橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A（-2，0），離心率e=

3

2

，過點(diǎn)G（1，0）的直線交橢圓Γ于B，C兩點(diǎn)，直線AB，AC分別交直線x=3于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）以線段MN為直徑的圓是否過定點(diǎn)，若是，求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A（-2，0），離心率e=

3

2

，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線BC的方程為x=ty+1代入橢圓方程，求出M，N的坐標(biāo)，求出以線段MN為直徑的圓的方程，令y=0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A（-2，0），離心率e=

3

2

，
∴a=2，

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

，
∴b=1，
∴橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)直線BC的方程為x=ty+1，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
直線BC的方程代入代入橢圓可得（4+t²）y²+2ty-3=0．
∴y₁+y₂=

-2t

4+t2

，y₁y₂=

-3

4+t2

．
∴x₁x₂=（ty₁+1）（ty₂+1）=t²y₁y₂+t（y₁+y₂）+1=

4-4t2

4+t2

，
x₁x+₂=（ty₁+1）+（ty₂+1）=t（y₁+y₂）+2=

8

4+t2

，
∵直線AB的方程為y=

y1

x1+2

(x+2)，
∴M（3，

5y1

x1+2

），
同理N（3，

5y2

x2+2

），
∴以線段MN為直徑的圓的方程為（x-3）（x-3）+（y-

5y1

x1+2

）（y-

5y2

x2+2

）=0，
∴（x-3）²+y²-（

5y1

x1+2

+

5y2

x2+2

）y+

5y1

x1+2

•

5y2

x2+2

=0，
∵

5y1

x1+2

+

5y2

x2+2

=-

5t

3

，

5y1

x1+2

•

5y2

x2+2

=-

25

12

，
∴以線段MN為直徑的圓的方程為（x-3）²+y²+

5ty

3

-

25

12

=0，
令y=0，可得x=3±

5 3

6

，
∴以線段MN為直徑的圓過定點(diǎn)（3±

5 3

6

，0）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查恒過定點(diǎn)問題，綜合性強(qiáng)．