Question

已知

π

4

＜α＜β＜

π

2

，且sin（α+β）=

4

5

，cos（α-β）=

12

13

，則tan2α=

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由條件求得cos（α+β）和sin（α-β）的值，可得tan（α+β）和tan（α-β）的值，再根據(jù)tan2α=tan[（α+β）+（α-β）]=

tan(α+β)+tan(α-β)

1-tan(α+β)tan(α-β)

，計算求得結(jié)果．

解答： 解：∵

π

4

＜α＜β＜

π

2

，且sin（α+β）=

4

5

，cos（α-β）=

12

13

，
∴

π

2

＜α+β＜π，-

π

2

＜α-β＜0，
∴cos（α+β）=

1-sin2(α+β)

=-

3

5

，sin（α-β）=-

1-cos2(α+β)

=-

5

13

，
∴tan（α+β）=

sin(α+β)

cos(α+β)

=-

4

3

，tan（α-β）=

sin(α-β)

cos(α-β)

=-

5

12

，
∴tan2α=tan[（α+β）+（α-β）]=

tan(α+β)+tan(α-β)

1-tan(α+β)tan(α-β)

=

- 4 3 - 5 12

1-(- 4 3 )(- 5 12 )

=-

63

16

，
故答案為：-

63

16

．

點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正切公式的應用，屬于中檔題．