【題目】已知圓C ,直線l

(Ⅰ)求直線l所過定點(diǎn)A的坐標(biāo);

(Ⅱ)求直線l被圓C所截得的弦長最短時(shí)m的值及最短弦長;

(Ⅲ)已知點(diǎn),在直線MC上(C為圓心),存在定點(diǎn)N(異于點(diǎn)M),滿足:對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P,都有為一常數(shù),試求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)及該常數(shù)。

【答案】(1)直線過定點(diǎn)(2)(3)

【解析】試題分析:(1)將直線中m合并到一起,然后令系數(shù)及剩余都為0即可得定點(diǎn)(2)直線l被圓C所截得的弦長最短時(shí)即當(dāng)時(shí)(3)由題知,直線的方程為,假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意,則設(shè), ,得 ,且再根據(jù)圓系方程可得對(duì)任意恒成立, 即可求出結(jié)論

試題解析:

解:(Ⅰ)依題意得,

,得

直線過定點(diǎn)

當(dāng)時(shí),所截得弦長最短,由題知,

,得,

圓心到直線的距離為

最短弦長為

Ⅲ)法一:由題知,直線的方程為,假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意,

則設(shè) ,得 ,且

整理得,

上式對(duì)任意恒成立,

解得(舍去,與重合)

綜上可知,在直線上存在定點(diǎn),使得為常數(shù)

法二:設(shè)直線上的點(diǎn)

取直線與圓的交點(diǎn),則

取直線與圓的交點(diǎn),則

,解得(舍去,與重合),此時(shí)

若存在這樣的定點(diǎn)滿足題意,則必為

下證:點(diǎn)滿足題意,

設(shè)圓上任意一點(diǎn),則

綜上可知,在直線上存在定點(diǎn),使得為常數(shù)

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