Question

已知，

（Ⅰ）當時，若在上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)，求值；

（Ⅱ）對任意恒成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，先將代入得到和表達式，求導，將已知轉(zhuǎn)化為，，轉(zhuǎn)化恒成立問題，從而求出k的值；第二問，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，對進行二次求導，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，確定a的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）當時，，，，，

在上為減函數(shù)，則，∴，

在上是增函數(shù)，則，∴，

（6分）

（Ⅱ）設，

則，設則，

（1）當時，，所以在上是減函數(shù)，在不恒成立；

（2）當時，，所以在上是增函數(shù)，的函數(shù)值由負到正，必有即，兩邊取自然對數(shù)得，，

所以，在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，

所以，

因此，即a的取值范圍是. （12分）

考點：導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值.