Question

【題目】定義在R上的函數(shù)f（x），f′（x）是其導(dǎo)數(shù)，且滿足f（x）+f′（x）＞2，ef（1）=2e+4，則不等式exf（x）＞4+2ex（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（ ）
A.（1，+∞）
B.（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C.（﹣∞，0）∪（0，+∞）
D.（﹣∞，1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設(shè)g（x）=exf（x）﹣2ex ， （x∈R），
則g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣2ex=ex[f（x）+f′（x）﹣2]，
∵f（x）+f′（x）＞2，
∴f（x）+f′（x）﹣2＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
∵exf（x）＞2ex+4，
∴g（x）＞4，
又∵g（1）=ef（1）﹣2e=4，
∴g（x）＞g（1），
∴x＞1，
故選：A．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)．