Question

設(shè)f（x）=lg（x+

x3+1

）+sinx，當0≤θ≤

π

2

時，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，1）
• B、（-∞，0）
• C、（-∞，

  1

  2

  ）
• D、（0，1）

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由函數(shù)f（x）=lg（x+

x3+1

）+sinx，可知f（x）為奇函數(shù)，增函數(shù)，然后可得f（msinθ）＞f（m-1），從而得出msinθ＞m-1，根據(jù)sinθ∈[0，1]，即可求解．

解答： 解：由函數(shù)f（x）=lg（x+

x3+1

）+sinx，可知f（x）為奇函數(shù)，
當0≤θ≤

π

2

時，f（x）=lg（x+

x3+1

）+sinx是增函數(shù)；
∵f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，即f（msinθ）＞f（m-1）恒成立，
∴msinθ＞m-1，令g（m）=（sinθ-1）m+1，
當0≤θ≤

π

2

時，msinθ＞m-1恒成立，等價于g（m）=（sinθ-1）m+1＞0恒成立．
∵0≤θ≤

π

2

，
∴sinθ∈[0，1]，
∴sinθ-1≤0，
∴當θ=0時，（sinθ-1）m+1＞0恒成立，①
當θ=

π

2

時，（sinθ-1）m+1＞0恒成立，②
由①②得：m＜1．
故選：A．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立的問題，難點在于判斷函數(shù)f（x）=lg（x+

x3+1

）+sinx為奇函數(shù)，增函數(shù)，屬于難題．