【題目】已知函數(shù)。
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若的最大值,存在最小值,且,求證:。
【答案】(1)當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;(2)證明見解析。
【解析】
試題分析:(1)先求,討論和兩種情況,分別令得減區(qū)間,得增區(qū)間;(2)由(1)可知,且,(為的極值點),由題設(shè),即,將代入上式,得,則。
試題解析:(1)由題設(shè)有,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,列表如下:
0 | |||
遞增 | 最大值 | 遞減 |
可知,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;
(2)由題設(shè)有,
若,在其定義域上單調(diào)遞增,無最小值,由(1)可知此時無最大值,故而令,又,
故唯一存在,使得,即,
列表如下
0 | |||
0 | |||
遞減 | 最小值 | 遞增 |
由(1)可知,且,由題設(shè),即,將代入上式有,化簡得。構(gòu)造函數(shù),
,易知為單調(diào)遞增函數(shù),又,而當(dāng),則唯一存在,使得,則當(dāng)遞減,當(dāng),,遞增。又,故只會在有解,而,故(*)的解為,則。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖所示,將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且對角線MN過C點,已知|AB|=3米,|AD|=2米。
(1)要使矩形AMPN的面積大于32平方米,則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
(2)當(dāng)AN的長度是多少時,矩形AMPN的面積最?并求出最小面積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)。
(1)若存在最大值,且,求的取值范圍。
(2)當(dāng)時,試問方程是否有實數(shù)根,若有,求出所有實數(shù)根;若沒有,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2016年9月15日,天宮二號實驗室發(fā)射成功.借天宮二號東風(fēng),某廠推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品.生產(chǎn)“玉兔”的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元.根據(jù)初步測算,總收益(單位:元)滿足分段函數(shù),其中,是“玉兔”的月產(chǎn)量(單位:件),總收益=總成本+利潤.
(I)試將利潤元表示為月產(chǎn)量的函數(shù);
(II)當(dāng)月產(chǎn)量為多少件時利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)是否存在及過原點的直線,使得直線與曲線,均相切?若存在,求的值及直線的方程;若不存在,請說明理由;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了規(guī)定學(xué)校辦學(xué),省電教育廳督察組對某所高中進行了抽樣調(diào)查,抽查到班級一共有52名學(xué)生,現(xiàn)將該班學(xué)生隨機編號,用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本,已知7號,33號,46號同學(xué)在樣本中,那么樣本中還有一位同學(xué)的編號應(yīng)是( )
A.13
B.19
C.20
D.52
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