Question

若不等式4x²+9y²≥2^kxy對(duì)一切正數(shù)x，y恒成立，則整數(shù)k的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化為基本不等式形式，然后利用基本不等式的解法即可得到結(jié)論．

解答： 解：不等式4x²+9y²≥2^kxy對(duì)一切正數(shù)x，y恒成立，
則等價(jià)為

4x2+9y2

xy

=

4x

y

+

9y

x

≥2k恒成立，
∵

4x

y

+

9y

x

≥2

4x y ? 9y x

=2×6=12當(dāng)且僅當(dāng)

4x

y

=

9y

x

，
即2x=3y時(shí)取等號(hào)，
∴要使

4x2+9y2

xy

=

4x

y

+

9y

x

≥2k恒成立，
則2^k≤12，
∵k是整數(shù)，
∴整數(shù)k的最大值為3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題注意考查不等式恒成立，利用基本不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．