Question

如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+c與x軸正半軸交于點F（4，0）、與y軸正半軸交于點E（0，4），邊長為4的正方形ABCD的頂點D與原點O重合，頂點A與點E重合，頂點C與點F重合；
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖2，若正方形ABCD在平面內(nèi)運動，并且邊BC所在的直線始終與x軸垂直，拋物線與邊AB交于點P且同時與邊CD交于點Q．設(shè)點A的坐標為（m，n）
①當PO=PF時，分別求出點P和點Q的坐標及PF所在直線l的函數(shù)解析式；
②當n=2時，若P為AB邊中點，請求出m的值；
（3）若點B在第（2）①中的PF所在直線l上運動，且正方形ABCD與拋物線有兩個交點，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由拋物線過E（0，4），F(xiàn)（4，0），代入拋物線方程求得系數(shù)a、c．可得拋物線方程；
（2）①過點P作PG⊥x軸于點G，由圖象P的橫坐標，根據(jù)P在拋物線上求得其縱坐標；由正方形ABCD的邊長是4，求得Q的縱坐標為-1，代入拋物線方程求其橫坐標；
②當n=2時，則點P的縱坐標為2，根據(jù)P在拋物線上，得P（2

2

，2）或P（-2

2

，2），結(jié)合圖形求得m值；
（3）由A（m，n）可得CD直線方程與B點坐標，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．

解答： 解：（1）由拋物線過E（0，4），F(xiàn)（4，0），
則

16a+c=0 c=4

⇒

a=- 1 4 c=4

，
∴拋物線的方程為y=-

1

4

x²+4；
（2）①過點P作PG⊥x軸于點G，∵PO=PF，∴OG=FG，
∵F（4，0），∴OF=4，∴OG=

1

2

PF=

1

2

×4=2，即點P的橫坐標為2，
∵P在拋物線上，∴y=-

1

4

×4+4=3，即P（2，3），
∵正方形ABCD的邊長是4，∴Q的縱坐標為-1，
又Q在拋物線上，∴-1=-

1

4

x²+4⇒x=2

5

或-2

5

（舍去），
∴Q（2

5

，-1）；
K_PF=

-3

2

，∴PF所在直線l的函數(shù)解析式為y=-

3

2

（x-4）；
②當n=2時，則點P的縱坐標為2，∵P在拋物線上，∴P（2

2

，2）或P（-2

2

，2），
∵P為AB的中點，∴AP=2，
∴A（2

2

-2，2）或A（-2

2

-2，2），∴m的值為2

2

-2或-2

2

-2．
（3）假設(shè)B在M點時，C在拋物線上，A的橫坐標是m，則B的橫坐標是m+4，
代入直線PF的解析式得：y=-

3

2

（m+4）+6=-

3

2

m，
則B的縱坐標是-

3

2

m，則C的坐標是（m+4，-

3

2

m-4）．
把C的坐標代入拋物線的解析式得：-

3

2

m-4=-

1

4

（m+4）²+4，解得：m=-1-

17

或-1+

17

（舍去）；
當B在E點時，AB經(jīng)過拋物線的頂點，則E的縱坐標是4，
把y=4代入y=-

3

2

x+6，得4=-

3

2

x+6，解得：x=

4

3

，
此時A的坐標是（-

8

3

，4），E的坐標是：（

4

3

，4），此時正方形與拋物線有3個交點．
當點B在E點時，正方形與拋物線有兩個交點，此時-1-

17

＜m＜-

8

3

；
當點B在E和P點之間時，正方形與拋物線有三個交點，此時：-

8

3

＜x＜-2；
當B在P點時，有兩個交點；
假設(shè)當B點在N點時，D點同時在拋物線上時，
同理，C的坐標是（m+4，-

3

2

m-4），則D點的坐標是：（m，-

3

2

m-4），
把D的坐標代入拋物線的解析式得：-

3

2

m-4=-

1

4

m²+4，解得：m=3+

41

或3-

41

（舍去），
當B在F與N之間時，拋物線與正方形有兩個交點．此時0＜m＜3+

41

．
故m的范圍是：-1-

17

＜m＜-

8

3

或m=2或0＜m＜3+

41

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，考查了學生分析解答問題的能力．