Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=
（1）令N（x）=（1+x）2﹣1+ln（1+x），判斷并證明N（x）在（﹣1，+∞）上的單調(diào)性，并求N（0）；
（2）求f（x）在定義域上的最小值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，n滿足0≤m＜n，使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域也為[m，n]？ （參考公式：[ln（1+x）′]= ）

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)x＞﹣1時(shí)，N′（x）=2x+2+ ＞0

所以，N（x）在（﹣1，+∞）上是單調(diào)遞增，N（0）=0

（2）解：f（x）的定義域是（﹣1，+∞）

當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，N（x）＜0，所以，f′（x）＜0，

當(dāng)x＞0時(shí)，N（x）＞0，所以，f′（x）＞0，

所以，在（﹣1，0）上f（x）單調(diào)遞減，在（0，+∞）上，f（x）單調(diào)遞增，

所以，fmin=f（0）=0

（3）解：由（2）知f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，

若存在m，n滿足條件，則必有f（m）=m，f（n）=n，

也即方程f（x）=x在[0，+∞）上有兩個(gè)不等的實(shí)根m，n，

但方程f（x）=x，即 =0只有一個(gè)實(shí)根x=0，

所以，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)m，n

【解析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)在x＞﹣1時(shí)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，代入求N（0）的值，（2）直接求定義域，利用f（x）單調(diào)性求解函數(shù)f（x）的最小值、值域，（3）假設(shè)存在符合條件的m，n則有 ，推導(dǎo)可判斷m，n是否存在．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．