【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(x2﹣2x+2﹣a2)(a>0),g(x)=x2+6x+c(c∈R).
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=﹣4x﹣2,求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)a=1時(shí),對(duì)x1∈[﹣2,2],x2∈[﹣2,2],使f(x1)<g(x2)成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
【答案】
(1)解:f′(x)=ex(x2﹣a2)=ex(x﹣a)(x+a),
由于曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)出的切線為y=﹣4x﹣2,
∴ ,
解得:a=2,
(2)解:令f′(x)=0,ex(x﹣a)(x+a)=0,
解得:x1=a,x2=﹣a,
由f′(x)>0得:x<﹣a或x>a,由f′(x)<0,﹣a<x<a,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣∞,﹣a),(a,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(﹣a,a);
(3)解:對(duì)x1∈[﹣2,2],x2∈[﹣2,2],使f(x1)<g(x2)成立,
等價(jià)于f(x)在[﹣2,2],上的最大值小于g(x)在[﹣2,2]上的最大值,
當(dāng)a=1時(shí)f(x)=ex(x2﹣2x+1),由(Ⅱ)可得f(x)與f(x)在[﹣2,2],情況下:
x | ﹣2 | (﹣2,1) | ﹣1 | (﹣1,1) | 1 | (1,2) | 2 |
f′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + | ||
f(x) | 9e﹣2 | 增 | 4e﹣1 | 減 | 0 | 增 | e2 |
由上表可知:f(x)在[﹣2,2上的最大值誒f(2)=e2,
∵g′(x)=2x+f6>0,在[﹣2,2]上恒成立,
∴g(x)=x2+6x+c在[﹣2,2]上單調(diào)遞增,
∴最大值為g(2)=c+16,
f(2)<g(2),即e2<c+16,得c>e2﹣16,
故實(shí)數(shù)c的取值范圍(e2﹣16,∞)
【解析】(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)f(x)在x=0處的切線方程為y=﹣4x﹣2,建立方程關(guān)系即可求a的值;(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),令f′(x)=0,求得方程的兩個(gè)解,f′(x)>0,求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,f′(x)<0,求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;(3)當(dāng)a=1,求得導(dǎo)函數(shù)解析式,將原條件轉(zhuǎn)化成f(x)在[﹣2,2],上的最大值小于g(x)在[﹣2,2]上的最大值,利用函數(shù)單調(diào)性求得f(x)和g(x)的最大值,即可求得c的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案.
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(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]的最值及所對(duì)應(yīng)的x值.
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(Ⅰ)求該校報(bào)考體育專業(yè)學(xué)生的總?cè)藬?shù);
(Ⅱ)已知A, 是該校報(bào)考體育專業(yè)的兩名學(xué)生,A的體重小于55千克, 的體重不小于70千克,現(xiàn)從該校報(bào)考體育專業(yè)的學(xué)生中按分層抽樣分別抽取體重小于55千克和不小于70千克的學(xué)生共6名,然后再?gòu)倪@6人中抽取體重小于55千克學(xué)生1人,體重不小于70千克的學(xué)生2人組成3人訓(xùn)練組,求A不在訓(xùn)練組且在訓(xùn)練組的概率.
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A. 三棱錐的正視圖面積是定值
B. 異面直線,所成的角可為
C. 異面直線,所成的角為
D. 直線與平面所成的角可為
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