Question

求函數(shù)y=（cosx）²+asinx+3a-2（x∈[0，

π

2

]）的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將函數(shù)通過(guò)換元變成y=-t²+at+3a-1的形式，通過(guò)討論對(duì)稱(chēng)軸所在的區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值，最小值．

解答： 解：∵y=-sin²x+asinx+3a-1，x∈[0，

π

2

]，
∴0≤sinx≤1，
設(shè)：t=sinx，∴0≤t≤1，
∴y=-t²+at+3a-1，
∴對(duì)稱(chēng)軸t=

a

2

，
①t=

a

2

≤0，即a≤0時(shí)：
t=0時(shí)，y最大，y_最大=3a-1，
t=1時(shí)，y最小，y_最小=4a-2，
②0＜

a

2

≤

1

2

，即0＜a≤1時(shí)：
t=

a

2

時(shí)，y最大，y_最大=

a2

4

+3a-1，
t=1時(shí)，y最小，y_最小=4a-2，
③

1

2

＜

a

2

≤1，即1＜a≤2時(shí)：
t=

a

2

時(shí)，y最大，y_最大=

a2

4

+3a-1，
t=0時(shí)，y最小，y_最小=3a-1，
④

a

2

＞1，即a＞2時(shí)：
t=1時(shí)，y最大，y_最大=4a-2，
t=0時(shí)，y最小，y_最小=3a-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的最值問(wèn)題，換元法，滲透了分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．