【題目】已知函數f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數.
(1)求實數k的值;
(2)設g(x)=log4(a2x+a),若f(x)=g(x)有且只有一個實數解,求實數a的取值范圍.
【答案】解:(1)由函數f(x)是偶函數可知:f(x)=f(﹣x),
∴,化簡得,
即x=﹣2kx對一切x∈R恒成立,∴k=-.
(2)由題意可得,函數f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,
即方程有且只有一個實根,
化簡得:方程有且只有一個實根,且a2x+a>0成立,則a>0.
令t=2x>0,則(a﹣1)t2+at﹣1=0有且只有一個正根,
設g(t)=(a﹣1)t2+at﹣1,注意到g(0)=﹣1<0,
所以①當a=1時,有t=1,合題意;
②當0<a<1時,g(t)圖象開口向下,且g(0)=﹣1<0,則需滿足,
此時有a=-2+2;a=-2-2(舍去).
③當a>1時,又g(0)=﹣1,方程恒有一個正根與一個負根.
綜上可知,a的取值范圍是{-2+2}∪[1,+∞).
【解析】(1)由f(x)=f(﹣x),化簡可得x=﹣2kx對一切x∈R恒成立,從而求得k的值.
(2)由題意可得,函數f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,方程有且只有一個實根,且a2x+a>0成立,則a>0.令t=2x>0,則(a﹣1)t2+at﹣1=0有且只有一個正根,分類討論求得a的范圍,綜合可得結論.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識,掌握在公共定義域內,偶函數的加減乘除仍為偶函數;奇函數的加減仍為奇函數;奇數個奇函數的乘除認為奇函數;偶數個奇函數的乘除為偶函數;一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
已知直線的極坐標方程為),圓的參數方程為: (其中為參數).
(1)判斷直線與圓的位置關系;
(2)若橢圓的參數方程為(為參數),過圓的圓心且與直線垂直的直線與橢圓相交于兩點,求.
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【題目】某工廠擬造一座平面為長方形,面積為的三級污水處理池.由于地形限制,長、寬都不能超過,處理池的高度一定.如果池的四周墻壁的造價為元,中間兩道隔墻的造價為元,池底的造價為元,則水池的長、寬分別為多少米時,污水池的造價最低?最低造價為多少元?
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【題目】已知是直線上任意一點,過作,線段的垂直平分線交于點.
(Ⅰ)求點的軌跡對應的方程;
(Ⅱ)過點的直線與點的軌跡相交于兩點,( 點在軸上方),點關于軸的對稱點為,且,求的外接圓的方程.
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【題目】如圖所示的是一個幾何體的直觀圖和三視圖(其中正視圖為直角梯形,俯視圖為正方形,側視圖為直角三角形).
(1)求四棱錐P-ABCD的體積;
(2)若G為BC上的動點,求證:AE⊥PG.
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【題目】當今信息時代,眾多高中生也配上了手機.某校為研究經常使用手機是否對學習成績有影響,隨機抽取高三年級50名理科生的一次數學周練成績,用莖葉圖表示如下圖:
(1)根據莖葉圖中的數據完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認為經常使用手機對學習成績有影響?
及格() | 不及格 | 合計 | |
很少使用手機 | |||
經常使用手機 | |||
合計 |
(2)從50人中,選取一名很少使用手機的同學記為甲和一名經常使用手機的同學記為乙,解一道數列題,甲、乙獨立解決此題的概率分別為, , ,若,則此二人適合結為學習上互幫互助的“師徒”,記為兩人中解決此題的人數,若,問兩人是否適合結為“師徒”?
參考公式及數據: ,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【題目】已知橢圓與拋物線共焦點,拋物線上的點M到y軸的距離等于,且橢圓與拋物線的交點Q滿足.
(I)求拋物線的方程和橢圓的方程;
(II)過拋物線上的點作拋物線的切線交橢圓于、 兩點,設線段AB的中點為,求的取值范圍.
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