【題目】如圖,正方形ABCD的中心為O,四邊形OBEF為矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,點G為AB的中點,AB=BE=2.
(1)求證:EG∥平面ADF;
(2)求二面角O﹣EF﹣C的正弦值;
(3)設(shè)H為線段AF上的點,且AH= HF,求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.
【答案】
(1)證明:取AD的中點I,連接FI,
∵矩形OBEF,∴EF∥OB,EF=OB,
∵G,I是中點,
∴GI∥BD,GI= BD.
∵O是正方形ABCD的中心,
∴OB= BD.
∴EF∥GI,EF=GI,
∴四邊形EFIG是平行四邊形,
∴EG∥FI,
∵EG平面ADF,F(xiàn)I平面ADF,
∴EG∥平面ADF
(2)解:建立如圖所示的坐標(biāo)系O﹣xyz,則B(0,﹣ ,0),C( ,0,0),E(0,﹣ ,2),
F(0,0,2),
設(shè)平面CEF的法向量為 =(x,y,z),則 ,取 =( ,0,1)
∵OC⊥平面OEF,
∴平面OEF的法向量為 =(1,0,0),
∵|cos< , >|=
∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值為 =
(3)解:AH= HF,∴ = =( ,0, ).
設(shè)H(a,b,c),則 =(a+ ,b,c)=( ,0, ).
∴a=﹣ ,b=0,c= ,
∴ =(﹣ , , ),
∴直線BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos< , >|= = .
【解析】(1)取AD的中點I,連接FI,證明四邊形EFIG是平行四邊形,可得EG∥FI,利用線面平行的判定定理證明:EG∥平面ADF;(2)建立如圖所示的坐標(biāo)系O﹣xyz,求出平面OEF的法向量,平面OEF的法向量,利用向量的夾角公式,即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值;(3)求出 =(﹣ , , ),利用向量的夾角公式求出直線BH和平面CEF所成角的正弦值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】雙曲線x2﹣ =1(b>0)的左、右焦點分別為F1、F2 , 直線l過F2且與雙曲線交于A、B兩點.
(1)若l的傾斜角為 ,△F1AB是等邊三角形,求雙曲線的漸近線方程;
(2)設(shè)b= ,若l的斜率存在,M為AB的中點,且 =0,求l的斜率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=(log2x)2﹣2alog2x+b(x>0).當(dāng)x= 時,f(x)有最小值﹣1.
(1)求a與b的值;
(2)求滿足f(x)<0的x的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】省環(huán)保廳對、、三個城市同時進(jìn)行了多天的空氣質(zhì)量監(jiān)測,測得三個城市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)共有180個,三城市各自空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)個數(shù)如下表所示:
城 | 城 | 城 | |
優(yōu)(個) | 28 | ||
良(個) | 32 | 30 |
已知在這180個數(shù)據(jù)中隨機抽取一個,恰好抽到記錄城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率為0.2.
(1)現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法,從上述180個數(shù)據(jù)中抽取30個進(jìn)行后續(xù)分析,求在城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個數(shù);
(2)已知, ,求在城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x(x﹣1)2 , x>0.
(1)求f(x)的極值;
(2)設(shè)0<a≤1,記f(x)在(0,a]上的最大值為F(a),求函數(shù) 的最小值;
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=lnx﹣2x2+4x+t(t為常數(shù)),若使g(x)≤x+m≤f(x)在(0,+∞)上恒成立的實數(shù)m有且只有一個,求實數(shù)m和t的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若定義在R上的函數(shù)對任意的、,都有成立,且當(dāng)時,.
(1)求證:是R上的增函數(shù);
(2)若,解不等式.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線方程為,求的極值;
(2)若,是否存在,使的極值大于零?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(x﹣1),其中a為實數(shù).
(Ⅰ)討論并求出f(x)的極值;
(Ⅱ)在a<1時,是否存在m>1,使得對任意的x∈(1,m)恒有f(x)>0,并說明理由;
(Ⅲ) 確定a的可能取值,使得存在n>1,對任意的x∈(1,n),恒有|f(x)|<(x﹣1)2 .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義域為R的奇函數(shù)f(x)滿足f(4﹣x)+f(x)=0,當(dāng)﹣2<x<0時,f(x)=2x , 則f(log220)=( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com