設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足約束條件
3x-y-6≤0
x-y+2≥0
x≥0
y≥0
,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為10,則a2+b2的最小值為
 
考點(diǎn):簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃
專(zhuān)題:不等式的解法及應(yīng)用
分析:作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)先求出a,b的關(guān)系,然后利用基本不等式求
1
a
+
2
b
的最小值.
解答: 解:由z=ax+by(a>0,b>0)得y=-
a
b
x+
z
b
,
作出可行域如圖:
∵a>0,b>0,
∴直線(xiàn)y=-
a
b
x+
z
b
的斜率為負(fù),且截距最大時(shí),z也最大.
平移直線(xiàn)y=-
a
b
x+
z
b
,由圖象可知當(dāng)y=-
a
b
x+
z
b
經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),
直線(xiàn)的截距最大,此時(shí)z也最大.
3x-y-6=0
x-y+2=0
,解得
x=4
y=6
,即A(4,6).
此時(shí)z=4a+6b=10,
即2a+3b-5=0,
即(a,b)在直線(xiàn)2x+3y-5=0上,
a2+b2的幾何意義為直線(xiàn)上點(diǎn)到圓的距離的平方,
則圓心到直線(xiàn)的距離d=
|-5|
22+32
=
5
13

則a2+b2的最小值為d2=
25
13
,
故答案為:
25
13
點(diǎn)評(píng):本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用以及點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線(xiàn)性規(guī)劃題目的常用方法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某人根據(jù)自己愛(ài)好,希望從{W,X,Y,Z}中選2個(gè)不同字母,從{0,2,6,8}中選3個(gè)不同數(shù)字?jǐn)M編車(chē)牌號(hào),要求前三位是數(shù)字,后兩位是字母,且數(shù)字2不能排在首位,字母Z和數(shù)字2不能相鄰,那么滿(mǎn)足要求的車(chē)牌號(hào)有( 。
A、198個(gè)B、180個(gè)
C、216個(gè)D、234個(gè)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x),若對(duì)給定的△ABC,它的三邊的長(zhǎng)a,b,c均在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi),且f(a),f(b),f(c)也為某三角形的三邊的長(zhǎng),則稱(chēng)f(x)是“保三角形函數(shù)”,給出下列命題:
①函數(shù)f(x)=x2+1是“保三角形函數(shù)”;
②函數(shù)f(x)=
x
(x>0)是“保三角形函數(shù)”;
③若函數(shù)f(x)=kx是“保三角形函數(shù)”,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0,+∞);
④若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期函數(shù),值域?yàn)椋?,+∞),則f(x)是“保三角形函數(shù)”.
其中所有真命題的序號(hào)是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)f(1)=0,當(dāng)x>0時(shí),有
xf′(x)-f(x)
x2
>0成立,則不等式f(x)>0的解集是( 。
A、(1,+∞)
B、(-1,0)
C、(-1,0)∪(1,+∞)
D、(-∞,-1)∪(1,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知直線(xiàn)l1:x+y-3=0,l2:(1+
3
)x+(1-
3
)y+1=0,則直線(xiàn)l1與l2的夾角的大小是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列三個(gè)結(jié)論:
①當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí),直線(xiàn)(a+1)x-y+2a+1=0恒過(guò)下點(diǎn)P,則P在圓x2+y2=5上;
②拋物線(xiàn)y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1);
③雙曲線(xiàn)x2-
y2
3
=1的離心率e=2.
其中所有的正確的結(jié)論是( 。
A、①②B、②③C、①③D、①②③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

不等式
2x
x-2
<1的解集為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=
π
2
,DC=2AB=2BC=2,以對(duì)角線(xiàn)AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為( 。
A、2(1+
2
)π
B、2
2
π
C、
2
2
3
π
D、(3+2
2
)π

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-2x+a,則滿(mǎn)足f(x-x2)>0的實(shí)數(shù)x范圍是
 

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