Question

如圖所示，PA⊥平面ABCD，△ABC為等邊三角形，AP=AB，AC⊥CD，M為AC的中點．
（Ⅰ）求證：BM∥平面PCD；
（Ⅱ）若直線PD與平面PAC所成角的正切值為

6

2

，求二面角A-PD-M的正切值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出BM⊥AC，從而得到BM∥CD，由此能夠證明BM∥平面PCD．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出PA⊥CD，從而得到CD⊥平面PAC．所以直線PD與平面PAC所成角為∠DPC，在平面PAD中，過N作NH⊥PD，連結(jié)MH，由題意得∠MHN為二面角A-PD-M的平面角，由此能求出二面角A-PD-M的正切值．

解答： （本題滿分14分）
（Ⅰ）證明：∵△ABC為等邊三角形，M為AC的中點，
∴BM⊥AC．又∵AC⊥CD，∴在平面ABCD中，有BM∥CD．…（3分）
又∵CD?平面PCD，BM?平面PCD，
∴BM∥平面PCD．…（5分）
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
∴直線PD與平面PAC所成角為∠DPC．…（7分）
在Rt△PCD中，tan∠DPC=

CD

PC

=

6

2

．
設(shè)AP=AB=a，則AC=a，PC=

2

a，
∴CD=

6

2

PC=

3

a，
在Rt△ACD中，AD²=AC²+CD²=4a²，∴AD=2a．…（9分）
∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．
在Rt△ACD中，過M作MN⊥AD．
又∵平面ABCD∩平面PAD=AD，MN?平面ABCD，
∴MN⊥平面PAD．
在平面PAD中，過N作NH⊥PD，連結(jié)MH，
則PD⊥平面MNH．
∴∠MHN為二面角A-PD-M的平面角．…（12分）
在Rt△ACD中，MN=

3

4

a，AN=

1

4

a，ND=

7

4

a，
∴

NH

PA

=

DN

PD

，∴NH=

PA•DN

PD

=

7

4 5

a，
∴tan∠MHN=

MN

NH

=

3 4 a

7 4 5 a

=

15

7

，
∴二面角A-PD-M的正切值為

15

7

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．