Question

已知橢圓C ：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P與A，B均不重合，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁·k₂為定值；
（Ⅲ）M為過(guò)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，若，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可得圓的方程為，
∵直線與圓相切，
∴，即， 
又，即，，
解得，，
所以橢圓方程為。
（Ⅱ）設(shè)，，，
則，即，
則，，
即，
∴為定值。
（Ⅲ）設(shè)，其中，
由已知及點(diǎn)P在橢圓C上可得，
整理得，其中，
①當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于x軸的線段；
②當(dāng)時(shí)，方程變形為，其中，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足的部分；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足的部分；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓。