Question

已知橢圓C：+=1，（a＞b＞0）與雙曲4x²-y²=1有相同的焦點(diǎn)，且橢C的離心e=，又A，B為橢圓的左右頂點(diǎn)，M為橢圓上任一點(diǎn)（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點(diǎn)P，過(guò)P作直線MB的垂線x軸于點(diǎn)Q，Q的坐標(biāo)；
（3）求點(diǎn)P在直線MB上射R的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）由題意知，雙曲線4x²-y²=1，∴c=1，
∵橢圓的離心率為e=，∴a=2，
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓方程為 （3分）
（2）設(shè)M（x，y），P（4，z），則，得，故．
設(shè)Q（x₀，0），由PQ⊥MB得：，
又M在橢圓上，故x²=4-，化簡(jiǎn)得，即Q（，0）（8分）
（3）點(diǎn)P在直線MB上射影即PQ與MB的交點(diǎn)H，由QH⊥HB得△HQB為直角三角形，
設(shè)E為QB中點(diǎn)，則|HE|=|QB|=，E（，0），
因此H點(diǎn)的軌跡方程為（13分）
分析：（1）先確定雙曲線中c的值，再利用橢圓的離心率，即可確定橢圓的方程；
（2）設(shè)M（x，y），P（4，z），則可得，利用PQ⊥MB及M在橢圓上，即可求Q的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在直線MB上射影即PQ與MB的交點(diǎn)H，由QH⊥HB得△HQB為直角三角形，從而可求H點(diǎn)的軌跡方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查軌跡方程，解題的關(guān)鍵是確定橢圓中的幾何量，利用垂直關(guān)系，建立等式，屬于中檔題．