Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，右焦點(diǎn)到直線y=x的距離為

3

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M（2，1），斜率為

1

2

的直線l交橢圓E于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B，設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k₁，k₂；
①若直線l過橢圓的左頂點(diǎn)，求k₁，k₂的值；    
②試猜測(cè)k₁，k₂的關(guān)系，并給出你的證明．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)（c，0），由右焦點(diǎn)到直線y=x的距離為

3

，可得

c

2

=

3

，解得c．又由橢圓的離心率為

3

2

，可得

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，解出即可．
（II）①若直線l過橢圓的左頂點(diǎn)，則直線的方程是l：y=

1

2

x+

2

，聯(lián)立方程組

y= 1 2 x+ 2 x2 8 + y2 2 =1

，解得，再利用斜率計(jì)算公式即可得出；
②設(shè)在y軸上的截距為b，直線l的方程為y=

1

2

x+b．與橢圓方程聯(lián)立可得x²+2bx+2b²-4=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)（c，0），
由右焦點(diǎn)到直線y=x的距離為

3

，∴

c

2

=

3

，解得c=

6

又由橢圓的離心率為

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

，解得a²=8，b²=2，
∴橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（Ⅱ） ①若直線l過橢圓的左頂點(diǎn)，則直線的方程是l：y=

1

2

x+

2

，
聯(lián)立方程組

y= 1 2 x+ 2 x2 8 + y2 2 =1

，解得

x1=0 y1= 2

或

x2=-2 2 y2=0

，
故k1=-

2 -1

2

，k2=

2 -1

2

．
②設(shè)在y軸上的截距為b，∴直線l的方程為y=

1

2

x+b．
由

y= 1 2 x+b x2+4y2=8

     得x²+2bx+2b²-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂═-2b，x₁x₂=2b²-4．
又k1=

y1-1

x2-2

，k2=

y2-1

x2-2

，
故k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

．
又y1=

1

2

x1+b，y2=

1

2

x2+b，
所以上式分子=(

1

2

x1+b-1)(x2-2)+(

1

2

x2+b-1)(x1-2)=x₁x₂+（b-2）（x₁+x₂）-4（b-1）=2b²-4+（b-2）（-2b）-4（b-1）=0，
故k₁+k₂=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．