Question

（09年山東蒼山期末文）（12分）

如下圖所示：在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。

（1）求證：AC⊥BC₁；

（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；

（3）求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值。

Answer 1

解析：

（1）直三棱角柱ABC―A₁B₁C₁底面三邊長(zhǎng)AC=3，BC=4，AB=5

∴AC⊥BC且BC₁在平面ABC內(nèi)的射影為BC

∴AC⊥BC₁

（2）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE

∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)

∴DE∥AC₁

DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

∴AC₁平面CDB₁

（3）DE∥AC₁，∴∠CED為AC₁與B₁C所成的角

在△CED中，，，

∴

∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為。