Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，銳角△ABC內(nèi)接于單位圓，已知BC平行于x軸，且tan∠xDA=2，記∠xOA=α（0＜α＜

π

2

），∠xOB═β（π＜β＜

3π

2

），則sin（α+β）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：根據(jù)條件求出直線斜率，設(shè)出A，B坐標(biāo)，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，利用兩角和差的正弦公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵tan∠xDA=2，∴直線AB的斜率k=2，
設(shè)AB的方程為y=2x+m，
由

x2+y2=1 y=2x+m

，消去y得5x²+4mx+m²-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

4m

5

，x₁x₂=

m2-1

5

，
∵∠xOA=α（0＜α＜

π

2

），∠xOB═β，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=y₁x₂+x₁y₂=（2x₁+m）x₂+x₁（2x₂+m）=4x₁x₂+m（x₁+x₂）
=4×

m2-1

5

+m•（-

4m

5

）=-

4

5

，
故答案為：-

4

5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式的計(jì)算，聯(lián)立直線方程和圓的方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．