Question

已知向量

a

=（cosωx-sinωx，sinωx），

b

=（-cosωx-sinωx，2

3

cosωx），設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

+λ（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=π對稱，且經(jīng)過點(diǎn)（

π

4

，0），其中ω，λ為常數(shù)，ω∈（

1

2

，1）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位，然后將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，最后將所得圖象向上平移

2

個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在區(qū)間[

3π

4

，

5π

4

]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）先利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，求函數(shù)f（x）的解析式，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式將函數(shù)f（x）化為y=Asin（ωx+φ）+k型函數(shù)，最后利用函數(shù)的對稱性和ω的范圍，計(jì)算ω的值，從而得函數(shù)的最小正周期，先將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得λ的值，即可求得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換求得g（x）的解析式，求得

x

3

-

7π

12

的取值范圍，即可得到g（x）在區(qū)間[

3π

4

，

5π

4

]上的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

+λ=（cosωx-sinωx）×（-cosωx-sinωx）+sinωx×2

3

cosωx+λ
=-（cos²ωx-sin²ωx）+

3

sin2ωx+λ，
=

3

sin2ωx-cos2ωx+λ=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，
∵圖象關(guān)于直線x=π對稱，∴2πω-

π

6

=

π

2

+kπ，k∈z，
∴ω=

k

2

+

1

3

，又ω∈（

1

2

，1），
∴k=1時(shí)，ω=

5

6

，
∵f（

π

4

）=0，
∴2sin（2×

5

6

×

π

4

-

π

6

）+λ=0，
∴λ=-

2

，
∴f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-

2

．
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位，得到的函數(shù)解析式為：y=2sin[

5

3

（x-

π

4

）-

π

6

]-

2

=2sin（

5

3

x-

7π

12

）-

2

．
然后將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)解析式為：y=2sin（

1

5

×

5

3

x-

7π

12

）-

2

=2sin（

x

3

-

7π

12

）-

2

．
最后將所得圖象向上平移

2

個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，得到的函數(shù)解析式為：g（x）=2sin（

x

3

-

7π

12

）．
∵x∈[

3π

4

，

5π

4

]，
∴

x

3

-

7π

12

∈[-

π

3

，-

π

6

]，
∴g（x）=2sin（

x

3

-

7π

12

）∈[-

3

，-1]．

點(diǎn)評：本題主要考查了y=Asin（ωx+φ）+k型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)值域的求法，整體代入的思想方法，屬基礎(chǔ)題．