Question

已知有限集A={a₁，a₂，a₃…，a_n}（n≥2）．如果A中元素a_i（i=1，2，3，…，n）滿足a₁a₂…a_n=a₁+a₂+…+a_n，就稱A為“復活集”，給出下列結論：
①集合{

-1+ 5

2

，

-1- 5

2

}是“復活集”；
②若a₁，a₂∈R，且{a₁，a₂}是“復活集”，則a₁a₂＞4；
③若a₁，a₂∈N^*則{a₁，a₂}不可能是“復活集”；
④若a_i∈N^*，則“復合集”A有且只有一個，且n=3．
其中正確的結論是

 

．（填上你認為所有正確的結論序號）

Answer 1

考點：元素與集合關系的判斷

專題：集合

分析：根據已知中“復活集”的定義，結合韋達定理及反證法，逐一判斷四個結論的正誤，進而可得答案．

解答： 解：∵

-1+ 5

2

•

-1- 5

2

=

-1+ 5

2

+

-1- 5

2

=-1，故①是正確的；
②不妨設a₁+a₂=a₁a₂=t，
則由韋達定理知a₁，a₂是一元二次方程x²-tx+t=0的兩個根，
由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②錯；
③不妨設A中a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，
由a₁a₂…a_n=a₁+a₂+…+a_n＜na_n，得a₁a₂…a_n-1＜n，當n=2時，
即有a₁＜2，
∴a₁=1，于是1+a₂=a₂，a₂無解，即不存在滿足條件的“復活集”A，故③正確．
當n=3時，a₁a₂＜3，故只能a₁=1，a₂=2，求得a₃=3，于是“復活集”A只有一個，為{1，2，3}．
當n≥4時，由a₁a₂…a_n-1≥1×2×3×…×（n-1），即有n＞（n-1）!，
也就是說“復活集”A存在的必要條件是n＞（n-1）!，事實上，（n-1）!≥（n-1）（n-2）=n²-3n+2=（n-2）²-2+n＞2，矛盾，
∴當n≥4時不存在復活集A，故④正確．
故答案為：①③④

點評：本題考查的知識點是元素與集合的關系，正確理解已知中的新定義“復活集”的含義是解答的關鍵，難度較大．