【題目】已知函數(shù)(
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在正實(shí)數(shù)使得
,若存在求出
,否則說(shuō)明理由;
(3)若存在不等實(shí)數(shù),
,使得
,證明:
.
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間為
.(2)不存在(3)詳見(jiàn)解析
【解析】
試題分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間:單調(diào)遞減區(qū)間是
,單調(diào)遞增區(qū)間為
.(2)構(gòu)造函數(shù)
,
,確定其是否有零點(diǎn)即可,先求導(dǎo)
,確定
為
上的增函數(shù),因此
,無(wú)零點(diǎn)(3)為研究方便不妨設(shè)
,
,則需證明
,構(gòu)造函數(shù)
,可證
在
上單調(diào)增,即
,因此
,而
在
上遞減,即
試題解析:解:(1)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
,單調(diào)遞增區(qū)間為
.
(2)不存在正實(shí)數(shù)使得
成立,
事實(shí)上,由(1)知函數(shù)在
上遞增,
而當(dāng),有
,在
上遞減,有
,
因此,若存在正實(shí)數(shù)使得
,必有
.
令,
令,因?yàn)?/span>
,所以
,所以
為
上的增函數(shù),所以
,即
,
故不存在正實(shí)數(shù)使得
成立.
(3)若存在不等實(shí)數(shù),
,使得
,則
和
中,必有一個(gè)在
,另一個(gè)在
,不妨設(shè)
,
.
①若,則
,由(1)知:函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,所以
;
②若,由(2)知:當(dāng)
,則有
,
而,所以
,即
,
而,
,由(1)知:函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,
∴,即有
,
由(1)知:函數(shù)在
上單調(diào)遞減,所以
;
綜合①,②得:若存在不等實(shí)數(shù),
,使得
,則總有
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系并取相同的單位長(zhǎng)度,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)把曲線的方程化為普通方程,
的方程化為直角坐標(biāo)方程
(2)若曲線,
相交于
兩點(diǎn),
的中點(diǎn)為
,過(guò)
點(diǎn)作曲線
的垂線交曲線
于
兩點(diǎn),求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)、
分別為橢圓
的左右頂點(diǎn),設(shè)點(diǎn)
為直線
上不同于點(diǎn)
的任意一點(diǎn),若直線
、
分別與橢圓相交于異于
、
的點(diǎn)
、
.
(1)判斷與以
為直徑的圓的位置關(guān)系(內(nèi)、外、上)并證明.
(2)記直線與軸的交點(diǎn)為
,在直線
上,求點(diǎn)
,使得
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)
,(
),若對(duì)任意
,總存在
,使得
成立,則
的取值范圍是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了研究某藥品的療效,選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn),所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位:kPa)的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組,第二組,,第五組,右圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖,已知第一組與第二組共有20人,第三組中沒(méi)有療效的有6人,則第三組中有療效的人數(shù)為( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 18
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面
是矩形,
平面
,
,
,以
的中點(diǎn)
為球心、
為直徑的球面交
于點(diǎn)
,交
于點(diǎn)
.
(1)求證:平面
;
(2)求直線與平面
所成的角的大小;
(3)求點(diǎn)到平面
的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于以下四個(gè)命題:①兩條異面直線有無(wú)數(shù)條公垂線;②直線在平面內(nèi)的射影是直線;③如果兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)的射影平行,那這兩條直線平行;④過(guò)兩條異面直線的一條有且僅有一個(gè)平面與已知直線平行;上述命題中為真命題的個(gè)數(shù)為( )個(gè)
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)
作斜率為
的直線交拋物線于
、
兩點(diǎn),以
為直徑的圓與準(zhǔn)線
有公共點(diǎn)
,若
,則
_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,
為直角,
,
,
與
相交于點(diǎn)
,
,
.
(1)試用、
表示向量
;
(2)在線段上取一點(diǎn)
,在線段
上取一點(diǎn)
,使得直線
過(guò)
,設(shè)
,
,求
的值;
(3)若,過(guò)
作線段
,使得
為
的中點(diǎn),且
,求
的取值范圍.
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