Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在正實數(shù)使得，若存在求出，否則說明理由；

（3）若存在不等實數(shù)，，使得，證明：．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）不存在（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）先求導數(shù)，再求導函數(shù)符號確定單調(diào)區(qū)間：單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）構(gòu)造函數(shù)，，確定其是否有零點即可，先求導，確定為上的增函數(shù)，因此，無零點（3）為研究方便不妨設(shè)，，則需證明，構(gòu)造函數(shù)，可證在上單調(diào)增，即，因此，而在上遞減，即

試題解析：解：（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為．

（2）不存在正實數(shù)使得成立，

事實上，由（1）知函數(shù)在上遞增，

而當，有，在上遞減，有，

因此，若存在正實數(shù)使得，必有．

令，

令，因為，所以，所以為上的增函數(shù)，所以，即，

故不存在正實數(shù)使得成立．

（3）若存在不等實數(shù)，，使得，則和中，必有一個在，另一個在，不妨設(shè)，．

①若，則，由（1）知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以；

②若，由（2）知：當，則有，

而，所以，即，

而，，由（1）知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，

∴，即有，

由（1）知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以；

綜合①，②得：若存在不等實數(shù)，，使得，則總有．