【題目】如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為邊長為4的正方形,M是BC的中點(diǎn),EF∥平面ABCD,且EF=2,AE=DE=BF=CF= .
(1)求證:ME⊥平面ADE;
(2)求二面角B﹣AE﹣D的余弦值.
【答案】
(1)證明:取AD的中點(diǎn)N,連結(jié)NM,NE,
則AD⊥NM,AD⊥NE,
∵NM∩NE=N,∴AD⊥平面NME,∴AD⊥ME,
過E點(diǎn),作EO⊥NM于O,
根據(jù)題意得NO=1,OM=3,NE=2,∴OE= ,EM=2 ,
∴△ENM是直角三角形,∴NE⊥ME,
∴ME⊥面ADE.
(2)解:如圖建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,
根據(jù)題意得:
A(2,﹣1,0),B(2,3,0),D(﹣2,﹣1,0),E(0,0, ),M(0,3,0),
設(shè)平面BAE的法向量 =(x,y,z),
∵ =(0,4,0), =(﹣2,1, ),
∴ ,取z=2,得 =( ,0,2),
由(1)知 =(0,﹣3, )為平面ADE的法向量,
設(shè)二面角B﹣AE﹣D的平面角為θ,
則cosθ= = ,
∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值為 .
【解析】(1)取AD的中點(diǎn)N,連結(jié)NM,NE,推導(dǎo)出AD⊥ME,過E點(diǎn),作EO⊥NM于O,推導(dǎo)出NE⊥ME,由此能證明ME⊥面ADE.(2)建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定,掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= sinωx﹣cosωx+m(ω>0,x∈R,m是常數(shù))的圖象上的一個(gè)最高點(diǎn) ,且與點(diǎn) 最近的一個(gè)最低點(diǎn)是 .
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且 ac,求函數(shù)f(A)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處,極軸與軸的非負(fù)半軸重合,且長度單位相同,直線的極坐標(biāo)方程為,曲線(為參數(shù)).其中.
(1)試寫出直線的直角坐標(biāo)方程及曲線的普通方程;
(2)若點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣alnx+b,a,b為實(shí)數(shù).
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=2x+3,求a,b的值;
(Ⅱ)若|f′(x)|< 對x∈[2,3]恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為,它在點(diǎn)處的切線為直線l.
(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線l與的交點(diǎn)為P1,P2,求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)為何值時(shí),軸為曲線的切線;
(2)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有下列四個(gè)命題:
(1)“若,則,互為倒數(shù)”的逆命題;
(2)“面積相等的三角形全等”的否命題;
(3)“若,則有實(shí)數(shù)解”的逆否命題;
(4)“若,則”的逆否命題.
其中真命題為( )
A. (1)(2) B. (2)(3) C. (4) D. (1)(2)(3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2,底面ABCD是直角梯形,∠A為直角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=2.
(Ⅰ)求線段BC1的長度;
(Ⅱ)異面直線BC1與DC所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,直線l的方程為ρcos(θ﹣ )=2 .
(Ⅰ)求曲線C在極坐標(biāo)系中的方程;
(Ⅱ)求直線l被曲線C截得的弦長.
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