Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）當(dāng)為何值時(shí)，軸為曲線的切線；

（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn).

【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點(diǎn)的方程組，解出切點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)的值；（Ⅱ）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)將分為研究的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，若零點(diǎn)不容易求解，則對(duì)再分類討論.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，則，，即，解得.

因此，當(dāng)時(shí)，軸是曲線的切線.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，從而，

∴在（1，+∞）無(wú)零點(diǎn).

當(dāng)=1時(shí)，若，則，,故=1是的零點(diǎn)；若，則，,故=1不是的零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，所以只需考慮在（0,1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（ⅰ）若或，則在（0,1）無(wú)零點(diǎn)，故在（0,1）單調(diào)，而，，所以當(dāng)時(shí)，在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，在（0，1）無(wú)零點(diǎn).

（ⅱ）若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)=時(shí)，取的最小值，最小值為=.

①若＞0，即＜＜0，在（0,1）無(wú)零點(diǎn).

②若=0，即，則在（0,1）有唯一零點(diǎn)；

③若＜0，即，由于，，所以當(dāng)時(shí)，在（0,1）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在（0,1）有一個(gè)零點(diǎn).…10分

綜上，當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn).