如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，AB=2，點(diǎn)E是C1D1的中點(diǎn)．
（1）求證：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角A-EB-C的大小．
考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DE⊥平面BCE．
（2）求出平面AEB的法向量和平面BCE的法向量，利用向量法能求出二面角A-EB-C的大�。�
解答： （1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），E（0，1，1），
B（1，2，3），C（0，2，0），
∴
DE
=（0，1，1），
BE
=（-1，-1，1），
BC
=（-1，0，0），
∵
DE
•
BE
=0，
DE
•
BC
=0，
∴DE⊥BE，DE⊥BC，
∵BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC=B，
∴DE⊥平面BCE．
（2）解：設(shè)平面AEB的法向量
n
=（x，y，z），
則
n
•
AB
=y=0
n
•
BE
=-x-y+z=0
，
取x=1，得
n
=（1，0，1），
∵DE⊥平面BCE，∴
DE
=（0，1，1）是平面BCE的法向量，
∵cos＜
n
，
DE
＞=
n
•
DE
|
n
|•|
DE
|
=
1
2
，
∴二面角A-EB-C的大小為120°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某汽車制造廠有一條價(jià)值為60萬(wàn)元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過(guò)技術(shù)改造來(lái)提高其生產(chǎn)能力，進(jìn)而提高產(chǎn)品的增加值．已知投入x萬(wàn)元用于技術(shù)改造，所獲得的產(chǎn)品的增加值為（60-x）x2萬(wàn)元，并且技改投入比率
x
60-x
∈（0，5]．
（1）求技改投入x的取值范圍；
（2）當(dāng)技改投入多少萬(wàn)元時(shí)，所獲得的產(chǎn)品的增加值為最大，其最大值為多少萬(wàn)元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．
（1）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為
3
2
，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PQSR的一邊距離為d，試求d=1時(shí)，a，b滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx+
2a2
x
+x（a≠0）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-2y=0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

“神州十號(hào)”從太空中帶回來(lái)的某種植物種子，甲乙兩個(gè)種子小組分別獨(dú)立開展對(duì)該植物種子離開恒溫箱的成活情況進(jìn)行研究，每次試驗(yàn)一粒種子，甲組能使種子成活的概率為
1
3
，乙組能使種子成活的概率為
1
2
，假定試驗(yàn)后種子成活，則稱該實(shí)驗(yàn)成功，如果種子不成活，則稱該次實(shí)驗(yàn)是失敗的．
（Ⅰ）求乙小組進(jìn)行四次試驗(yàn)有三次成功的概率；
（Ⅱ）若甲乙兩小組各進(jìn)行2次試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)成功的總次數(shù)為ξ，求ξ的期望值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊比賽中，每次射擊成績(jī)均計(jì)整數(shù)環(huán)且不超過(guò)10環(huán)，其中射擊一次命中7～10環(huán)的概率如下表所示
命中環(huán)數(shù)78910
概   率0.120.180.280.32
求該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，
（1）命中9環(huán)或10環(huán)的概率；   
（2）命中不足7環(huán)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的N件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位；克），重量的分組區(qū)間為（490，495]，（495，500]，…（510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，若其中重量超過(guò)510克的產(chǎn)品件數(shù)為3．
（1）求N；
（2）在抽取的重量超過(guò)505克的產(chǎn)品中任取2件，設(shè)ξ為重量超過(guò)510克的產(chǎn)品數(shù)量，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2-8n，則前n項(xiàng)和的最小值為
 
，此時(shí)n=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系x0y中，以0為原點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-
π
3
）=1，M、N分別為C與x軸、y軸的交點(diǎn)．MN的中點(diǎn)為P，則直線OP的極坐標(biāo)方程為
 
．

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