Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
（1）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為

3

2

，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PQSR的一邊距離為d，試求d=1時(shí)，a，b滿足的條件．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為

3

2

，建立方程，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），S（-x₁，-y₁），R（-x₂，-y₂）．
①當(dāng)直線PS與QR的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線PS：y=kx，則直線QR：y=-

1

k

x．聯(lián)立y=kx與橢圓方程，解得x12=

a2b2

b2+a2k2

，聯(lián)立y=-

1

k

x與橢圓方程，解得x22=

a2b2k2

a2+b2k2

，結(jié)合

|x2y1-x1y2|

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=1，化簡(jiǎn)并代入即可化為a²b²=a²+b²．
②當(dāng)直線PS與QR的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，直線PR的斜率不存在時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證上式也成立．

解答： 解：（1）由題意橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為

3

2

，
∴2a=4，

c

a

=

3

2

，
解得a²=4，b²=1，c=

3

．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），S（-x₁，-y₁），R（-x₂，-y₂）．
①當(dāng)直線PS與QR的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線PS：y=kx，則直線QR：y=-

1

k

x．
聯(lián)立y=kx與橢圓方程，解得x12=

a2b2

b2+a2k2

．（*）
聯(lián)立y=-

1

k

x與橢圓方程，解得x22=

a2b2k2

a2+b2k2

．（**）
直線PR的斜率存在時(shí)，則直線PR為（y₂-y₁）x+（x₁-x₂）y+x₂y₁-x₁y₂=0．
∵d=1，∴

|x2y1-x1y2|

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=1，（***）
聯(lián)立（*）（**）（***），化為a²b²=a²+b²．
即

1

a2

+

1

b2

=1為定值．
②當(dāng)直線PS與QR的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，直線PR的斜率不存在時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證上式也成立．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、直線的點(diǎn)斜式、分類討論思想方法等是解題的關(guān)鍵．