Question

某次飛鏢比賽中，規(guī)定每人最多發(fā)射3鏢．在M處每射中一鏢得3分，在N處每射中一鏢得2分，如果前兩次得分之和超過3分即停止發(fā)射，否則發(fā)射第三鏢．某選手在M處的命中率q₁為0.25，在N處的命中率為q₂，該選手選擇先在M處發(fā)射第一鏢，以后都在N處發(fā)射．用X表示該選手比賽結(jié)束后所得的總分，其分布列為：

X	0	2	3	4	5
P	0.03	P1	P2	P3	P4

（Ⅰ）求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）；
（Ⅱ）試比較該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過3分與選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)該同學(xué)在M處命中為事件A，在B處命中為事件B，則事件A，B相互獨(dú)立，且P（A）=0.25，P（

.

A

）=0.75，P（B）=q₂，P（

.

B

）=1-q₂．由此能求出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX．
（2）選擇上述方式，得分超過3分的概率為：p=p₃+p₄=0.48+0.24=0.72；選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率：p′=0.8×0.8+0.8×0.2×0.8+0.2×0.8×0.8=0.896．從而得到選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率大．

解答： （1）設(shè)該同學(xué)在M處命中為事件A，
在B處命中為事件B，則事件A，B相互獨(dú)立，
且P（A）=0.25，P（

.

A

）=0.75，P（B）=q₂，P（

.

B

）=1-q₂．
根據(jù)分布列知：X=0時(shí)，
P（

.

A

.

B

.

B

）=0.75（1-q₂）²=0.03，
所以1-q₂=0.2，q₂=0.8，
當(dāng)X=2時(shí)，P₁=P=（

.

A

B

.

B

+A

.

B

B）=0.75q₂（1-q₂）×2=1.5q₂（1-q₂）=0.24，
當(dāng)X=3時(shí)，P₂=P（A

.

B

.

B

）=0.25（1-q₂）²=0.01，
當(dāng)X=4時(shí)，P₃=P（

.

A

BB）=0.75q₂²=0.48，
當(dāng)X=5時(shí)，P₄=P（A

.

B

B+AB）=0.25q₂（1-q₂）+0.25q₂=0.24
隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63．
（2）選擇上述方式，得分超過3分的概率為：
p=p₃+p₄=0.48+0.24=0.72；
選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率：
p′=0.8×0.8+0.8×0.2×0.8+0.2×0.8×0.8=0.896．
∵p′＞p，
∴選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率大．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．