Question

（2013•薊縣二模）設f（x）=2^x-2^-x．若當θ∈[-

π

2

，0)時，f(m-

1

cosθ-1

)+f(m2-3)＞0恒成立，則實數m的取值范圍是（　�。�

A．（-∞，-2）

B．（-∞，-2]∪[1，+∞）

C．（-2，1）

D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：先判斷f（x）的奇偶性、單調性，利用函數的性質把不等式中的符號“f”去掉，轉化為具體不等式，進而把恒成立問題轉化為函數最值解決即可．

解答：解：因為f（x）的定義域為R，且f（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-f（x），
所以f（x）為奇函數；
又易知f（x）=2^x-2^-x為增函數，
所以f(m-

1

cosθ-1

)+f(m2-3)＞0可化為f（m-

1

cosθ-1

）＞-f（m²-3）=f（3-m²），
也即m-

1

cosθ-1

＞3-m²，即m2+m-3＞

1

cosθ-1

在當θ∈[-

π

2

，0)時恒成立，
當θ∈[-

π

2

，0)時，cosθ∈[0，1），

1

cosθ-1

≤-1，
所以m²+m-3＞-1，解得m＜-2或m＞1，即實數m的取值范圍為（-∞，-2）∪（1，+∞）．
故選D．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性及其應用，考查函數恒成立問題，考查學生分析問題解決問題的能力．