已知定點F(0,1)和直線l1:y=-1,過定點F與直線l1相切的動圓圓心為點C.
(1)求動點C的軌跡方程;
(2)若A,B是所求軌跡上的兩個點,滿足OA⊥OB(0為坐標原點),求證:直線AB經過一個定點.
(3)過點F的直線l2交軌跡于兩點P、Q,交直線l1于點R,求
RP
RQ
的最小值.
分析:(1)根據(jù)點C到點F的距離等于它到l1的距離,依據(jù)拋物線的定義可知點C的軌跡是以F為焦點,l1為準線的拋物線,進而求得其軌跡方程;
(2)設直線AB的方程為y=kx+b代入拋物線方程,利用OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,即可得到結論;
(3)設出直線l2的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y,設出P,Q的坐標,根據(jù)韋達定理表示出x1+x2和x1x2的表達式,進而可得點R的坐標,表示出
RP
RQ
,根據(jù)均值不等式求得其最小值.
解答:(1)解:由題設點C到點F的距離等于它到l1的距離,
∴點C的軌跡是以F為焦點,l1為準線的拋物線.
∴所求軌跡的方程為x2=4y.
(2)證明:由已知,設直線AB的方程為y=kx+b代入拋物線方程x2=4y,并整理得x2-4kx-4b=0
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k,x1x2=-4b,
因為OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,即b2-4b=0,解得,b=4或b=0(舍去),
所以直線AB過定點(0,4).
(3)解:由題意直線l2的方程為y=kx+1,與拋物線方程聯(lián)立消去y,得x2-4kx-4=0.
記P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=4k,x1x2=-4.
∵直線PQ的斜率k≠0,易得點R的坐標為(-
2
k
,-1),
RP
RQ
=(x1+
2
k
)(x2+
2
k
)+(kx1+2)(kx2+2)
=(1+k2)x1x2+(
2
k
+2k)(x1+x2)+
4
k2
+4
=-4(1+k2)+4k(
2
k
+2k)+
4
k2
+4=4(k2+
1
k2
)+8,
∵k2+
1
k2
≥2,當且僅當k2=1時取到等號.
RP
RQ
≥4×2+8=16,即
RP
RQ
的最小值為16.
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系,考查拋物線方程的求解,考查向量知識的運用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網已知定點F(0,1)和直線l1:y=-1,過定點F與直線l1相切的動圓圓心為點C.
(1)求動點C的軌跡方程;
(2)過點F在直線l2交軌跡于兩點P、Q,交直線l1于點R,求
RP
RQ
的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定點F(0,1)和定直線l:y=-1,過定點F與定直線l相切的動圓的圓心為點C
(1)求動圓的圓心C的軌跡W的方程;
(2)設點P是W上的一動點,求PF的中點M的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知定點F(0,1)和定直線l:y=-1,過定點F與定直線l相切的動圓的圓心為點C
(1)求動圓的圓心C的軌跡W的方程;
(2)設點P是W上的一動點,求PF的中點M的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:《第2章 圓錐曲線與方程》2010年單元測試卷(3)(解析版) 題型:解答題

已知定點F(0,1)和直線l1:y=-1,過定點F與直線l1相切的動圓圓心為點C.
(1)求動點C的軌跡方程;
(2)過點F在直線l2交軌跡于兩點P、Q,交直線l1于點R,求的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案