已知定點F(0,1)和定直線l:y=-1,過定點F與定直線l相切的動圓的圓心為點C
(1)求動圓的圓心C的軌跡W的方程;
(2)設點P是W上的一動點,求PF的中點M的軌跡方程.
分析:(1)設圓心C(x,y),利用條件過定點F與定直線l相切的動圓建立方程,可求軌跡方程.
(2)設中點M(x,y),利用與P,F(xiàn)的關(guān)系,通過代入法建立方程,從而可求M的軌跡方程.
解答:解:(1)設C(x,y),因為圓C定點F與定直線l相切,所以|CF|=|x+1|,即圓心C到定點和直線y=-1的距離相等.
軌跡拋物線的定義可知,C的軌跡是以F為焦點,y=-1為準線的拋物線,設拋物線方程為x2=2py,其中
p
2
=1

所以p=2,即拋物線方程為x2=4y.
(2)設PF的中點M(x,y),P(x1,y1),則由中點坐標公式可得
x=
x1
2
y=
y1+1
2
,即
x1=2x
y1=2y-1

代入拋物線方程x2=4y,
得(2x)2=4(2y-1),即x2=2y-1,
所以PF的中點M的軌跡方程為x2=2y-1.
點評:本題的考點是軌跡方程的求法,通過拋物線的定義可確定軌跡方程,利用代入法求動點軌跡也是一種基本的方法,要求熟練掌握.
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