Question

【題目】已知橢圓曲線方程為 ，兩焦點分別為F1 ， F2 ．
（1）若n=﹣1，過左焦點為F1且斜率為 的直線交圓錐曲線于點A，B，求△ABF2的周長．
（2）若n=4，P圓錐曲線上一點，求PF1PF2的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：若n=1，方程為x2﹣y2=1，則直線AB的方程為y= （x+ ）．

聯立x2﹣y2=1，可得2x2+6 x+7=0，∴|AB|= =4，

據雙曲線定義，2a=|AF2|﹣|AF1|=|BF2|﹣|BF1|，

∴4a=|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）=4，

∴|AB|+|AF2|+|BF2|=12

（2）

解：若n=4，方程為 =1，

∴PF1+PF2=4，

設PF1=x，x∈[2﹣ ，2+ ]，

∴PF1PF2=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4，

∴PF1PF2的最大值為4，最小值為1

【解析】（1）求出|AB|，利用雙曲線的定義，即可求△ABF2的周長．（2）若n=4，P圓錐曲線上一點，PF1+PF2=4，設PF1=x，x∈[2﹣ ，2+ ]，PF1PF2=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4求，即可PF1PF2的最大值和最小值．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的概念的相關知識點，需要掌握平面內與兩個定點，的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡稱為橢圓,這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距才能正確解答此題．