Question

已知函數(shù)f（x）=sin（

x

2

+

π

4

）cos（

x

2

-

π

4

）-sin²

x

2

，先將f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位，再將所得圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的

1

2

，縱坐標伸長到原來的

2

倍，得到g（x）的圖象．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

4

]，求f（x）的值域；
（3）若F（x）=2af（x）+

a

2

g（x）+1，x∈[0，

π

4

]，a≠0，試求F（x）的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=

2

2

sin（x+

π

4

），從而求得它的周期．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的值域．
（3）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）=sin2x，再利用三角恒等變換求得F（x）=a（sinx+cosx+sinxcosx），令sinx+cosx=t，可得F（x）=

a

2

（t+1）²+1-a，分類討論結(jié)合t的范圍以及二次函數(shù)的性質(zhì)，求得F（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（

x

2

+

π

4

）cos（

x

2

-

π

4

）-sin²

x

2

=cos（

π

4

-

x

2

）cos（

x

2

-

π

4

）-sin²

x

2

=

1+cos(x- π 2 )

2

-

1-cosx

2

=

1

2

（sinx+cosx）=

2

2

sin（x+

π

4

），
∴函數(shù)f（x）的周期為

2π

1

=2π．
（2）∵x∈[0，

π

4

]，∴x+

π

4

∈[

π

4

，

π

2

]，∴sin（x+

π

4

）∈[

2

2

，1]，
∴f（x）∈[

1

2

，

2

2

]．
（3）將f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位，再將所得圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的

1

2

，
縱坐標伸長到原來的

2

倍，得到g（x）=sin2x的圖象，
F（x）=2af（x）+

a

2

g（x）+1=

2

asin（x+

π

4

）+

a

2

sin2x=a（sinx+cosx+sinxcosx），
令sinx+cosx=t，則由x∈[0，

π

4

]，a≠0，可得 t∈[1，

2

]，
且F（x）=

a

2

（t+1）²+1-a，
若a＞0，則當(dāng)t=1時，F(xiàn)（x）取得最小值為a+1．
若a＜0，則當(dāng)t=

2

時，F(xiàn)（x）取得最小值為

2 2 +1

2

a+1．

點評：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角恒等變換以及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．