Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=8n對任意的n∈N^*都成立，設(shè)向量

a

=（x，2），

b

=（x+n，2x-1）（n∈N^*）．函數(shù)f（x）=

a

•

b

在[0，1]上的最小值與最大值的和為b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，試求數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,平面向量數(shù)量積的運算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=8n，n∈N^*，得a₁+2a₂+…+2^n-2a_n-1=8（n-1），n≥2，兩式相減能求出a_n=2^4-n，n∈N^*．f（x）=

a

•

b

=x²+（n+4）x-2，由f（x）在[0，1]是增函數(shù)，能求出b_n=n+1．
（2）由c_n=a_n•b_n=（n+1）•2^4-n，利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和．

解答： 解：（1）∵a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=8n，n∈N^*，①
∴a₁+2a₂+…+2^n-2a_n-1=8（n-1），n≥2，n∈N^*，②
①-②得2^n-1•a_n=8，解得a_n=2^4-n，
在①中，令n=1，解得a1=8=24-1，
∴a_n=2^4-n，n∈N^*．
∵向量

a

=（x，2），

b

=（x+n，2x-1）（n∈N^*）．
函數(shù)f（x）=

a

•

b

=x²+nx+4x-2
=x²+（n+4）x-2，
∵n∈N^*，∴f（x）在[0，1]是增函數(shù)，
∵f（x）_min=f（0）=-2，f（x）_max=f（1）=n+3，
∵f（x）=

a

•

b

在[0，1]上的最小值與最大值的和為b_n．
∴b_n=n+1．
（2）∵c_n=a_n•b_n=（n+1）•2^4-n，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和：
Sn=2•23+3•22+4•2+5•20+6•2-1+•••+（n+1）•2^4-n，③
2S_n=2•2⁴+3•2³+4•2²+5•2+6•2⁰+…+（n-1）•2^3-n，④
④-③，得S_n=32+2³+2²+2+2⁰+2^-1+…+2^4-n-（n-1）•2^4-n
=32+

8(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-（n-1）•2^4-n
=32+16-

1

2n-5

-（n-1）•2^4-n
=48-

1

2n-5

-（n-1）•2^4-n．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和為：48-

1

2n-5

-（n-1）•2^4-n．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．