Question

4．如果橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），滿足a，b，c成等比數列，則該橢圓為“優(yōu)美橢圓”，且其離心率e=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$；由此類比雙曲線，若也稱其為“優(yōu)美雙曲線”，那么你得到的正確結論為：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$中，若a，b，c成等比數列，則稱雙曲線為“優(yōu)美雙曲線”，且離心率$e=\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．．

Answer 1

分析 根據等比數列的性質和雙曲線的a，b，c的關系，解方程，結合離心率公式，從而可求雙曲線的離心率，即可得出結論．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$中，若a，b，c成等比數列，
則稱雙曲線為“優(yōu)美雙曲線”，且離心率$e=\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．
理由：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$
若a，b，c成等比數列，
∴b²=ac，
∴c²-a²=ac，
∴e²-e-1=0，
∵e＞1，
∴e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案為：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$中，若a，b，c成等比數列，
則稱雙曲線為“優(yōu)美雙曲線”，且離心率$e=\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的離心率，等比數列性質的應用，考查計算能力，屬于中檔題．