Question

14．已知拋物線y²=2px（p＞0）
（1）求證：拋物線上到焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0）距離最近的點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．
（2）若有點(diǎn)M（m，0）（m＞0），試問(wèn)m滿足什么條件時(shí)，拋物線y²=2px上到點(diǎn)M距離最近的點(diǎn)仍是拋物線的頂點(diǎn)？

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用拋物線的定義，可得到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，即可得證；
（2）m＞0時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x，y）為拋物線上的任意一點(diǎn)，則|PM|=$\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-m）^{2}+2px}$，由配方，再由二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，可得最小值，可得m的范圍

解答 （1）證明：利用拋物線的定義可知到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，
拋物線上到準(zhǔn)線最近的點(diǎn)是頂點(diǎn)，
所以到焦點(diǎn)最近的點(diǎn)也是頂點(diǎn)．
（2）解：m＞0時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x，y）為拋物線上的任意一點(diǎn)，
則|PM|=$\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-m）^{2}+2px}$=$\sqrt{[x-（m-p）]^{2}+2mp-{p}^{2}}$，
∵當(dāng)x=0時(shí)，上式取得最小值，
∴m-p≤0，解得m≤p，
又m＞0，∴0＜m≤p．
綜上可得：實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，p]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，同時(shí)考查二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．