Question

函數(shù)f（x）=2sin（πx）-

1

1-x

，x∈[-2，4]的所有零點(diǎn)之和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)t=1-x，則x=1-t，原函數(shù)可化為g（t）=2sinπt-

1

t

，由于g（x）是奇函數(shù)，觀察函數(shù)y=2sinπt與y=

1

t

的圖象可知，在[-3，3]上，兩個(gè)函數(shù)的圖象有8個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)之和為0，從而 x₁+x₂+…+x₇+x₈的值．

解答： 解：設(shè)t=1-x，則x=1-t，原函數(shù)可化為：
g（t）=2sin（π-πt）-

1

t

=2sinπt-

1

t

，其中，t∈[-3，3]，
因g（-t）=-g（t），
故g（t） 是奇函數(shù)，觀察函數(shù) y=2sinπt（紅色部分）
與曲線y=

1

t

 （藍(lán)色部分）的圖象可知，
在t∈[-3，3]上，兩個(gè)函數(shù)的圖象有8個(gè)不同的交點(diǎn)，
其橫坐標(biāo)之和為0，即t₁+t₂+…+t₇+t₈=0，
從而x₁+x₂+…+x₇+x₈=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．