Question

已知正四面體A-BCD，它的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）半徑為r，外接球（過正四面體的四個頂點的球）的半徑為R，則

R

r

=

3

．

Answer 1

分析：作出正四面體A-BCD的高DE，延長CE，交AB于G，連接DG，過C作DG邊上的高CF．在△CDG中加以研究，可得DE、CF的交點I就是內(nèi)切球和外接球公共的球心，設(shè)正四面體棱長為1，可算出CE、GE、ED的長，利用Rt△DEG∽Rt△CEI得線段成比例，從而得出EI=

6

12

，DI=

6

4

，由此不難得到R與r的比值．

解答：解：過點D作DE⊥平面ABC，垂足為E，則E是正三角形ABC的中心
則根據(jù)球的對稱性和正四面體的性質(zhì)，得外接球和內(nèi)切球的球心在同一點處，設(shè)為I，則I在高線DE上
延長CE，交AB于G，連接DG，過C作DG邊上的高CF，則I在CF上
I到平面ABC的距離IE等于內(nèi)切球半徑r，ID=IC=R是外接球半徑
設(shè)正四面體棱長為1，則
正△ABC中，CG=

3

2

，CE=

2

3

CG═

3

3

，GE=

1

3

CG=

3

6

，
Rt△DEG中，DG=CG=

3

2

，可得DE=

DG2-GE2

=

6

3

∵Rt△DEG∽Rt△CEI，
∴

EG

EI

=

DE

CE

，即

3 6

EI

=

6 3

3 3

，可得EI=

6

12

，所以ID=DE-EI=

6

4

即r=

6

12

，R=

6

4

，可得

R

r

=

6 4

6 12

=3
故答案為：3

點評：本題給出正四面體的外接球與內(nèi)切球，求它們的半徑之比，著重考查了正四面體的性質(zhì)和球的內(nèi)接、外切幾何體等知識，屬于中檔題．